Использование импульсной характеристики

Сегодня хочу познакомить вас с некоторыми элементами математики и теории цепей, находящими прямое применение в области обработки сигналов.

Главной задачей теории цепей (а также теории автоматического управления, например) является определение характеристик той или иной цепи, системы.

В основе теории лежит концепция так называемого «черного ящика». Это может быть, скажем четырехполюсник, на вход которого мы подаем один сигнал, а с выхода снимаем другой. Таким элементом может быть любой тракт, обработчик, фильтр и т. п.

Зачастую возникает необходимость определения зависимости между входным X(t) и выходным Y(t) сигналом. Такая зависимость называется передаточной функцией и записывается в комплексном виде:

Данная зависимость подразумевает разложение входного и выходного сигнала на частотные составляющие и полностью определяет коэффициент передачи K(ω), а также фазовую задержку ϕ(ω) для любой частотной составляющей сигнала. Комплексная передаточная функция фиксирована исключительно для линейных стационарных систем, т. е. для систем, КПФ которых не зависит от входного сигнала.

В качестве примера линейной стационарной системы можно привести обработчик, называемый эквалайзером.

Давайте рассмотрим эквалайзер XG EQ для foobar2000:

В данном случае мы имеем явно заданные коэффициенты усиления для отдельных частотных составляющих от 20 до 20000 Гц. Например, для 1000 Гц задано усиление -5.9 дБ, что соответствует ослаблению примерно в 2 раза.

Давайте обработаем сигнал с равномерным спектром, генерируемый RightMark Audio Analyzer, этим эквалайзером. Спектр сигнала на выходе (а соответственно, и амплитудно-частотная характеристика фильтра) будет иметь следующий вид:

Мы видим, что форма АЧХ полностью соответствует относительным значениям, установленным в эквалайзере. Скажем, разница между коэффициентом для 20000 и 1000 Гц равна тем самым 5.9 дБ. Как вы заметили, в настройках эквалайзера задаются значения для отдельных, дискретных значений частот, а АЧХ у нас получилась гладкой. Это говорит о том, что для расчета коэффициентов промежуточных значений частот используется интерполяция (усреднение между соседними заданными значениями).

Кроме того, практически любой фильтр вносит фазовые задержки. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) является второй важнейшей характеристикой системы, на ней строится зависимость фазовой задержки от частоты:

Вместе амплитудно- и фазочастотная характеристики полностью описывают линейную стационарную систему и позволяют предсказать её реакцию на любое входное воздействие (т.е. рассчитать форму выходного сигнала, зная форму входного).

Теперь вернемся к задаче определения передаточной функции. Определить её можно, во-первых, проанализировав устройство системы. Например, электрическая схема, состоящая из R/L/C (сопротивление, индуктивность, ёмкость) элементов является линейной и для неё можно составить комплексное уравнение, описывающее связь между входным и выходным параметром (например, между входным током и выходным напряжением). Для этих целей используют стандартные методы анализа цепей — составление уравнений по законам Кирхгофа, а также операторный и другие методы.

Однако, очень часто бывает так, что проанализировать устройство системы очень трудно или в силу обстоятельств невозможно. В таком случае прибегают к анализу откликов на заданные входные воздействия.

Так как линейная стационарная система описывается только с помощью АЧХ и ФЧХ, для её анализа достаточно знать реакцию на известный входной сигнал, имеющий полный частотный спектр.

На практике используется две легко описываемых функции (задающих входной сигнал) — это функция включения (Хевисайда) и дельта-функция (Дирака). Обе эти функции содержат мгновенный скачек амплитуды, который как раз и обеспечивает полный частотный спектр.

Функция Хевисайда h(t) представляет собой мгновенный скачок амплитуды от 0 до 1 в момент времени t=0. Причем при t<0 Она равна 0, а при t≥0 она равна 1.

Реакция системы на такое водное воздействие называется переходной характеристикой. Например, вот функция включения и реакция на неё использованного выше пресета эквалайзера:

Если мы продифференцируем функцию включения, то получится так называемая функция Дирака (или дельта-функция). Зная основы дифференцирования, несложно догадаться, какую форму она будет иметь. Так как производная в точке характеризует скорость роста функции в данной точке (и равна тангенсу угла наклона касательной), а в случае с функцией включения мы имеем мгновенный прирост значения функции, производная в момент включения будет равна бесконечности. Таким образом функция Дирака представляет собой единичный импульс минимальной продолжительности и максимальной (бесконечной) амплитуды.

Эта функция δ(t) равна нулю во всех точках, кроме t=0, где она равна бесконечности.

Чтобы вы детально вникли в суть вопроса, предлагаю вашему вниманию очень интересные и полезные ролики по высшей математике, на тему дельта-функции.

Итак, именно эту функцию мы и будем рассматривать. В цифровой обработке сигналов она описывается единичным семплом с максимальной амплитудой (1, что соответствует -0 dBFS). Вот, как выглядит такой импульс в волновом редакторе:

Как вы уже поняли, в идеале дельта-функция Дирака имеет бесконечный спектр. В случае с цифровым аудио, где продолжительность ограничена снизу частотой дискретизации, а амплитуда ограничена максимальным значением 0 dBFS, такой импульс конечно же будет иметь спектр, ограниченный частотой Найквиста (частота дискретизации деленная на два), но в то же время равномерный:

Давайте представим, что такой сигнал пропущен через определенный фильтр, который имеет некоторую АЧХ и ФЧХ. Из-за временных задержек в результате мы должны получить осцилляции разной частоты, выходящие за его пределы. Из-за различных коэффициентов усиления для различных частот эти осцилляции будут иметь разную амплитуду, зависящую от их частоты.

Например, пропустим этот импульс через тот же эквалайзер. Вот, что мы получим:

Перед вами импульсная характеристика фильтра. В ней заключена информация о коэффициентах передачи и фазовых задержках каждой частотной составляющей. Проанализировав спектр данного сигнала в RMAA, мы получим АЧХ фильтра:

Здесь следует отметить, что точность расчета характеристик системы зависит от времени, в течении которого анализируется отклик. Чем это время больше, тем точнее данные. Также надо упомянуть, что существуют фильтры с конечной и бесконечной импульсной характеристикой.

Амплитудно- и фазочастотная характеристики получаются путем разложения импульсной характеристики в ряд Фурье, в результате которого для каждой частотной составляющей получаются значения амплитуды и фазового сдвига.

Импульсная характеристика также удобна для обработки сигналов, выходной сигнал рассчитывается как свертка входного и импульсной характеристики:

На а теперь перейдем от теории к практике. Для нашего любимого foobar2000 существует чудесный плагин Impulse response convolver (от англ. convolution — свертка). Он как раз и выполняет эту самую свертку, позволяя использовать любой произвольный импульсный файл:

Таким образом вы можете взять единичный импульс, обработать его любым эквалайзером (например, в звуковом редакторе), а потом применить аналогичную обработку с помощью импульсного отклика, уже в foobar2000.

Например, так в foobar2000 реализуется де-эмфазис. В папке с плагином находится каталог с файлами импульсов, позволяющими компенсировать пре-эмфазис, используемый в некоторых Audio CD.